Formalno, Liejeve grupe su grupe koje su ujedno diferencijabilne (glatke) mnogostrukosti, pri čemu se zahtijeva da je i operacija grupe diferencijabilna. Popularnije rečeno, to su grupe koje uz to algebarsko svojstvo imaju i lijepa geometrijska svojstva.
Grupa je skup (neprazan, naravno) na kojem je definirana operacija koja dvama elementima pridružuje element istog skupa. Pritom ta operacija mora biti asocijativna, posjedovati neutralni element i svaki element mora imati inverz obzirom na tu operaciju. Primjerice, skup realnih brojeva R uz zbrajanje je grupa: zbroj dva realna broja je realan broj, za svaka tri realna broja x, y i z vrijedi (x+y)+z=x+(y+z) (asocijativnost), postoji realan broj (nula: 0) sa svojstvom da zbrajanje s njime ne mijenja element (x+0=0+x=x, kažemo da je 0 neutralni element za zbrajanje) i za svaki realan broj postoji broj koji zbrojen s njime daje neutralni element (x+(-x)=(-x)+x=0, -x je inverzni ili suprotni element od x). Uočimo da se od grupe ne traži da bude komutativna, tj. moguće je da rezultat operacije ovisi o redoslijedu (realni brojevi sa zbrajanjem čine komutativnu grupu, ali primjerice realne bijekcije definirane na cijelom R obzirom na komponiranje čine nekomutativnu grupu).
Kako operacija grupe ima dvije varijable, njena diferencijabilnost znači da je diferencijabilna obzirom na obje varijable, a da bi smo mogli pričati o diferencijabilnosti neke funkcije, njena domena i kodomena moraju omogućiti smislenu definiciju derivacije (putem limesa). Stoga ako tražimo da operacija * grupe G kao funkcija *: G×G → G bude diferencijabilna, u G moramo imati mogućnost računanja odgovarajućih limesa. To će vrijediti ako je G glatka mnogostrukost. Glatke mnogostrukosti možemo zamišljati kao podskupove prostora na kojima se može provoditi diferencijalni račun. To znači da se cijela mnogostrukost može "pokriti" kartama iz nekog atlasa. Primjerice, sfera (rub kugle) je glatka mnogostrukost: iako je nemoguće prekriti cijelu sferu jednom pravokutnom "zemljopisnom" kartom, okolinu svake točke na sferi možemo opisati po jednom kartom iz atlasa na način kako je to uobičajeno u zemljopisu. Kako su pojedine karte dijelovi uobičajene euklidske ravnine, a u njoj znamo provoditi diferencijalni račun, kažemo da je sfera glatka mnogostrukost (dvodimenzionalna jer se pokriva kartama koje su dijelovi dvodimenzionalnoh euklidskog prostora, tj. ravnine). Pravac možemo smatrati glatkom jednodimenzionalnom mnogostrukosti: okolinu svake točke možemo pokriti "kartom" koja je neka dužina. Slično, kružnicu isto možemo smatrati jednodimenzionalnom glatkom mnogostrukosti jer bismo na način kako pravokutne karte "prislanjamo" uz sferu mogli jednodimenzionalne karte (dužine) prislanjati uz kružnicu i tako okolinu svake točke kružnice identificirati s dužinom.
Najjednostavniji primjer Liejeve grupe je skup realnih brojeva uz zbrajanje. On, kako smo vidjeli, čini grupu. S druge strane, svi znamo da se skup realnih brojeva može identificirati s pravcem, koji je glatka mnogostrukost. Zbrajanje kao funkcija +: R×R → R je diferencijabilna, dakle zadovoljena je definicija Liejeve grupe. Jedinična kružnica u koordinatnoj ravnini (sa središtem u ishodištu) uz operaciju koja dvjema točkama kružnice pridružuje točku čiji kut prema pozitivnom dijelu osi apscisa je jednak zbroju kuteva točaka koje zbrajamo je također Liejeva grupa; zapravo, kako svaku kružnicu uz prikladan koordinatni sustav možemo shvatiti kao jediničnu, svaka kružnica uz upravo opisano zbrajanje njenih točaka je primjer Liejeve grupe. Ta grupa se u suštini ne razlikuje od grupe kvadratnih matrica reda 2 koje imaju determinantu 1, ako tu kao operaciju grupe uzmemo množenje matrica. Naime, svaka matrica reda 2 s determinantom 1 može se zapisati tako da joj je prvi red oblika (cosα, -sinα), a drugi (sinα, cosα), dakle jednoznačno je određena kutem α te se tako može identificirati s točkom na kružnici kojoj je kut spojnice s ishodištem prema pozitivnom dijelu osi apscisa upravo α. Kako množenjem matrica određenih kutevima α i β dobivamo matricu istog tipa određenu kutem α+β, vidimo da množenju matrica reda 2 determinante 1 odgovara zbrajanje točaka na kružnici, tj. te dvije grupe su u biti iste (izomorfne).
Naravno, postoje mnogi kompliciraniji primjeri Liejevih grupa (neki su navedeni primjerice na stranici http://en.wikipedia.org/wiki/Lie_group). Liejeve grupe našle su svoju primjenu posebno u teorijskoj fizici, posebice u analizi neprekidnih simetrija diferencijalnih jednadžbi. Ove teme su ipak prenapredne za ovu više popularnu stranicu. Ako koga ipak zanima više o tome, upućujem ga na knjigu Lie groups, physics and geometry, pisanu s težištem na primjene; ipak, za razumijevanje teksta poželjno je solidno predznanje i iz matematike i iz fizike, kako primjerice imaju studenti viših godina prirodoznanstvenih fakulteta.